L’analisi
della stabilità in questo esempio prevede di dare una leggera spinta alla
sfera
e osservare il suo movimento in ciascuna delle tre situazioni. Nel
caso della superficie concava, a seguito della spinta la sfera oscilla in avanti
e indietro,
ma l’attrito causa il rallentamento della sfera, che prima o poi si ferma nel punto
in cui si trovava inizialmente. Un ingresso (forza) finito risulta in un movimento
finito con una posizione che converge a zero (la sfera si ferma). Il punto di
equilibrio del sistema si dice asintoticamente stabile.Se la superficie è piana, in risposta alla spinta ricevuta la sfera comincia a rotolare sulla superficie piana e in seguito per l’attrito si ferma in un nuovo punto, cosicché la posizione rimane costante da quell’istante di tempo in poi. Un ingresso (forza) finito risulta in una posizione limitata che non converge a zero. Il punto di equilibrio del sistema si dice semplicemente o marginalmente stabile. Peraltro, se la superficie è leggermente inclinata o sviluppa una curvatura leggermente convessa, la sfera continua a rotolare, non fermandosi mai. Nel caso di superficie convessa, infine, successivamente all’applicazione della forza la sfera rotola verso il basso sulla superficie, continuando a mantenere una velocità non nulla, con una posizione che tende a divergere. Nel caso di superficie che si estende all’infinito, ad una forza in ingresso finita corrisponde una posizione divergente. Il punto di equilibrio del sistema si dice instabile.
Riassumendo, nel primo caso il sistema, che si trova in una condizione iniziale di quiete, viene sottoposto ad una perturbazione finita e di durata limitata, cui risponde riportandosi nel punto iniziale di equilibrio (equilibrio asintoticamente stabile). Nel secondo caso, invece, il sistema si porta in una nuova situazione di equilibrio diversa da quella iniziale (equilibrio indifferente o marginalmente stabile). Infine, nel terzo caso il sistema anziché raggiungere una condizione di equilibrio dopo la perturbazione, continua ad evolvere nel tempo, fornendo una risposta divergente: la
velocità della sfera cresce indefinitamente (equilibrio instabile).
Sitografia consigliata:
https://www.youtube.com/watch?v=-7qKJa4TcRA
